Matematyka

Wykaż, że liczba 7³⁰ - 8 * 7²⁰ + 15 * 7¹⁰ jest podzielna przez 56


Answers

Detektyw

1 rok temu Comment

Best answer

Zauważmy, że:
[latex]7^{30} - 8\cdot 7^{20} + 15 \cdot 7^{10}=7^{10}\cdot (7^{20}-8\cdot 7^{10}+15)=\\=7^{10}\cdot (7^{10}-3)\cdot (7^{10}-5)[/latex]

Zauważmy także, że [latex]56=7\cdot 8=7\cdot 2\cdot 4[/latex]

Zaobserwujmy, że [latex]7 \vert 7^{10}[/latex] ponieważ [latex]7^{10}=7\cdot 7^9.[/latex]

Dalej zaobserwujmy, że kolejne potęgi liczby [latex]7[/latex] to liczby, których dwie ostatnie cyfry to kolejno [latex]07,49,43,01,07,49,43,01,\ldots[/latex]
Wobec tego dwie ostatnie cyfry liczby [latex]7^{10}[/latex] to [latex]49[/latex]. Minus [latex]3[/latex] to zostaje na końcu [latex]46.[/latex] Widzimy, że liczba ta jest parzysta zatem jest podzielna przez [latex]2,[/latex] czyli [latex]2 \vert (7^{10}-3).[/latex]

Zaobserwujmy w końcu, że dwie ostatnie cyfry liczby [latex]7^{10}-5[/latex] to [latex]44[/latex] a zatem [latex]4 \vert (7^{10}-5)[/latex].

Reasumując:
Liczba [latex]7[/latex] dzieli [latex]7^{10},[/latex] liczba [latex]2[/latex] dzieli [latex]7^{10}-3[/latex] oraz liczba [latex]4[/latex] dzieli [latex]7^{10}-5[/latex]. Wobec tego liczba [latex]7\cdot 2\cdot 4[/latex] dzieli [latex]7^{10}\cdot (7^{10}-3)\cdot (7^{10}-5)[/latex], czyli liczba [latex]56[/latex] dzieli liczbę [latex]7^{30} - 8\cdot 7^{20} + 15 \cdot 7^{10}.[/latex] Co kończy dowód.