Matemática

ALGUÉM PODERIA ME AJUDAR COM A RESOLUÇÃO POR FAVOR. SE NÃO SOUBER COM A RESOLUÇÃO DA CONTA NEM TENTE ME AJUDAR. OBRIGADA. Considere o número alfa= 1+4/10 +1/10^2 + 1/10^3 + 1/10^4 +... Se ele for racional, coloque-o na forma de fraçao irredutível. a)127/90 resposta certa b)12/90 c)132/990 d)11/99 e)141/990


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alinetauany

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Temos: [latex] \displaystyle \alpha = 1 + \frac{4}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots [/latex] [latex] \displaystyle \alpha = \frac{10}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots [/latex] [latex] \displaystyle \alpha = \frac{14}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots [/latex] A seguinte parte: [latex] \displaystyle \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots [/latex] Constitui uma P.G. infinita de razão ⅒ cuja soma pode ser definida com a seguinte expressão: [latex]\displaystyle S_{infinita} = \frac{a_1}{1-q} [/latex] Em que a₁ é seu primeiro termo e q é sua razão. Dessa forma: [latex]\displaystyle S_{infinita} = \frac{\frac{1}{100}}{1- \frac{1}{10}} [/latex] [latex]\displaystyle S_{infinita} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}} [/latex] [latex]\displaystyle S_{infinita} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{9}{10}} [/latex] [latex]\displaystyle S_{infinita} = \frac{1}{100} \cdot \frac{10}{9} [/latex] [latex]\displaystyle S_{infinita} = \frac{1}{90} [/latex] Finalmente: [latex]\displaystyle \alpha = \frac{14}{10} + \frac{1}{90} [/latex] [latex]\displaystyle \alpha = \frac{126}{90} + \frac{1}{90} [/latex] [latex]\displaystyle \alpha = \frac{127}{90} [/latex] O valor ⍺ é um número racional pois sua divisão resulta numa dízima periódica. ---------------------------

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